Ventana gótica
① Una ventana Gótica consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. Se requiere fabricar varias de ellas para una sala amplia.Se sabe que el presupuesto alcanza para construir ventanas con un perímetro de 10m.
¿Cuál debe ser el radio para que el área de ésta sea Máxima?
(Queremos que la sala esté bien iluminada)
② El área total es la suma de la del rectángulo y la del semicírculo, es decir :
A(r,h)=2rh+πr2/2
quien aparentemente depende de 2 variables, pero dada la restricción :
10=2r+2h+πr
al despejar h y sustituírlo en A, obtenemos :
A(r)=10r-(2+π/2)r2
*¿Puedes checar los detalles?
③ Finalmente derivamos la función :
A'(r)=10-(4+π)r
Que al igualar a cero y resolver produce :
r=10/(4+π)~1.40
Y con el cual el área resulta de
A(1.4)~7.00
*¿Puedes verificarlo a 5 decimales ahora?
Como la segunda derivada :
A''(r)=-(4+π)
Es siempre negativa, resulta ser un máximo local.
*Como puedes notar, la función tiene una limitante por la derecha. ¿Puedes explicarla?
