Cines camas
Este es un cine cuya pantalla mide 40ft de ancho y 30ft de alto, como se muestra en la figura :
( Por simplicidad supondremos que todomundo está acostado sobre el suelo )
El problema consiste en encontrar el punto sobre el plano que garantiza el mejor lugar de observación. ↁ
( Por simplicidad supondremos que todomundo está acostado sobre el suelo )
El problema consiste en encontrar el punto sobre el plano que garantiza el mejor lugar de observación. ↁ
ⓟ Una discusión previa pareciera indicar que la mejor observación se logra al maximizar el Volumen del cono rectangular generado desde la vista del observador y hacia la pantalla, pero la experiencia muestra que al alejarse esto no sucede en realidad (Aún cuando el Volumen va en aumento ; depende de la distancia/altura de él).
Entonces debemos concluir que más bien, depende de los ángulos de observación (Plano α y espacial δ) respectivamente.
Afortunadamente estos son relativamente independientes, por lo que el problema se reducirá a dos problemas en una variable.
* Pregunta más a tu profesor
← Mueve el punto morado ⚫ para un control libre
Entonces debemos concluir que más bien, depende de los ángulos de observación (Plano α y espacial δ) respectivamente.
Afortunadamente estos son relativamente independientes, por lo que el problema se reducirá a dos problemas en una variable.
* Pregunta más a tu profesor
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① Para el ángulo plano α consideremos la siguiente figura :
Para una y fija, en ella se verifican :
a) Tan(β)=x/y
b) Tan(γ)=(40-x)/y
c) α=β+γ
Por lo que :
α(x,y)=Atan(x/y)+Atan[(40-x)/y]
*Ver Applet superior
Al derivar con respecto a x obtenemos :
α'(x)=y2/(x2+y2)
-y2/[(40-x)2+y2]
la cual, al igualarla a cero y resolver, produce :
x=20 El cual es un máximo ¿Porqué?
Como bien, la intuición indica, el mejor lugar (Para cada y fija) es "al centro de la pantalla".
Para una y fija, en ella se verifican :
a) Tan(β)=x/y
b) Tan(γ)=(40-x)/y
c) α=β+γ
Por lo que :
α(x,y)=Atan(x/y)+Atan[(40-x)/y]
Al derivar con respecto a x obtenemos :
α'(x)=y2/(x2+y2)
-y2/[(40-x)2+y2]
la cual, al igualarla a cero y resolver, produce :
Como bien, la intuición indica, el mejor lugar (Para cada y fija) es "al centro de la pantalla".
② Para el ángulo espacial δ consideremos la siguiente figura :
En ella se verifican :
a) Tan(δ)=45/y
b) Tan(ε)=15/y
c) ζ=δ-ε
Por lo que :
δ(y)=Atan(45/y)-Atan15/y
*Ver Applet superior
Al derivar con respecto a y obtenemos :
δ'(y)=-45/(y2+452)
+15/(y2+152)
la cual, al igualarla a cero y resolver, produce :
y=15√3 El cual es un máximo ¿Porqué?
Verifíquese que con este valor, el ángulo de observación equivale a 30°.
En ella se verifican :
a) Tan(δ)=45/y
b) Tan(ε)=15/y
c) ζ=δ-ε
Por lo que :
δ(y)=Atan(45/y)-Atan15/y
Al derivar con respecto a y obtenemos :
δ'(y)=-45/(y2+452)
+15/(y2+152)
la cual, al igualarla a cero y resolver, produce :
Verifíquese que con este valor, el ángulo de observación equivale a 30°.
Mueve los puntos rojo y/o verde para un control por ejes ↓
Visita : http://dinamate.org
α(x,y)=Atan(x/y)+Atan[(40-x)/y]
δ(y)=Atan(45/y)-Atan15/y
③ Ya con el valor de δ, ¿Puedes determinar el de α?. ¿Que tanta diferencia ( absoluta/relativa ) hay con el "peor" de los observadores en cada caso? Visita dinamate