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» De todos los conos que se pueden inscribir en una esfera de radio 3, ¿Qué ángulo debe formar el eje con alguna generatriz para que su Volumen sea máximo?

① A pesar de estar interesados en el ángulo, tomaremos la ordenada (y) como nuestra variable independiente por simplicidad.
Y bien, como se muestra en la proyección ↓
x²=9-y²
h=3-y
Así, el Volumen está dado por la relación :
V=πr²h=π(9-y²)(3-y)
V(y)=π(y³-3y²-9y+27)

② Derivando la función, igualando a cero y reduciendo :
y²-2y-3=0
Resolvemos por Factorización, obteniendo las soluciones :
x₁=-1
x₂=3
*Verifica por favor que x₁=-1 es el mínimo buscado

③ Finalmente calculamos el ángulo deseado y ¿porqué no?, la altura y el Volumen que cumplen con lo establecido.
h=√[9-(-1)²]=2√2
V=π(2√2)²(4)=32π
¿Porqué 4?
α=Atan(√2/2) ~ 35.26°

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*Ejercicios sugeridos :

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a) Repítase el problema pero ahora planteado con α como variable
b) Lo mismo pero con "x" como ella.
c) Con la función de superficie, verifíquese que al no haber puntos críticos, el máximo / mínimo corresponden a valores en la frontera.