Log

① De un tronco semicilíndrico de radio 4, se desea obtener una cuña cortando desde un ángulo dado como se muestra en la figura.
¿Cual es el valor de su volumen para cada ángulo θ?

Mueve el punto de abajo para casos varios↓

② Como observamos en la construcción derecha y con esta elección de ejes, el valor de cada base y del triángulo a cada instante es :
y=√[16-x²]
y como la tangente al ángulo es :
tan(θ)=h/y
tenemos que
h=ytan(θ)
y por tanto, el área de cada triángulo es:
A=yh/2
A=√[16-x²]√[16-x²]tan(θ)/2
A=(16-x²)tan(θ)/2

③ Finalmente integramos a lo largo del eje X desde -4 hasta 4 para obtener el volumen deseado :
V(θ)=∫_-4⁴ (16-x²)tan(θ)/2 dx
V(&theta)=tan(θ)∫_-4⁴ 8-x²/2 dx
V(θ)=tan(θ)(16x-x³/3)|₀⁴
V(θ)=128tan(θ)/3
¿Puedes verificar los detalles?

*Nota : Para un "tronco infinito", similarmente que con la tangente, el volumen diverge cuando θ→π/2

Ejercicio 1) Calcúlense volúmenes (como valores exactos) para los ángulos notables desde el paso 2.
Ejercicio 2) Calcúlese el volumen pero ahora utilícense sectores circulares horizontales D-D-D como escalera circular.

Que tronco Cuña Oh!