De todos los triángulos isosceles con perímetro fijo, ¿cuál es aquél que posee la mayor área? ¿Cuánto vale esta y cada lado?
① Sea el triángulo como en la figura central, así su pérímetro será : P=2x+y Con la fórmula de Herón (semiperímetro s) : A=√[s(s-x)2(s-y)] Al despejar y de la primera y sustituir en la última obtenemos : A=√[s(s-x)2(2x-s)] Por comodidad trabajaremos con : B(x)=[A(x)]2=s(s-x)2(2x-s) ¿Porqué podemos hacer esto?✍ Revisa por favor los detalles.
② Derivamos B(x) con la regla del producto, obteniendo : B'(x)=2s(s-x)(2s-3x) Lo cual, después de igualarlo a cero y resolver produce únicamente las soluciones : x=s x=2s/3 de las cuales elegimos : x=2s/3¿Porqué? quien representará un máximo¿Porqué?Y bien, con el perímetro inicial, obtenemos que : y=2s/3=x por lo que, efectivamente, se trata de un triángulo equilátero de lados p/3 y área : A=√3 p2/36 ✍ Verifica de nuevo los detalles.
Fórmula de Herón : Para un triángulo de lados x,y,z , y semiperímetro s=(x+y+z)/2; su área se calcula mediante : A=√[s(s-x)(s-y)(s-z)] *Resolución en abstracto
*Trianguloco 2